Teorema del Angulo Externo

¿Que es un Teorema?

Un teorema es una proposición que afirma una verdad demostrable. En matemáticas, es toda proposición que partiendo de un supuesto (hipótesis), afirma una verdad (tesis) no evidente por sí misma

En el curso de Trigonometría de la escuela preparatoria se presentaran varios teoremas, un teorema no es una verdad que se acepta ciegamente, siempre debe de ser probada la veracidad de su afirmación.

Expondré en primer lugar un teorema que se le atribuye a Euclides la demostración ya que aparece en el libro I del ya citado "Los Elementos".  Lo mas probable es que este Teorema venga desde un periodo muy anterior al padre de la Geometría, sin embargo, la primera cita que tenemos del mismo es precisamente en el libro que comentamos.

Teorema: Si se considera cualquiera de los ángulos exteriores a un Triangulo ABC, entonces su medida es mayor que la de cualquiera de los ángulos interiores no adyacentes a el.

Antes de demostrar este teorema pongamonos de acuerdo en un lenguaje que será utilizado a lo largo de este Blogg.

En primer Lugar el enunciado del Teorema que estudiamos habla de un Triangulo ABC.


Un Triangulo, como es bien sabido es una figura geométrica compuesta por tres lados y por tres ángulos, los lados de un triangulo son segmentos de recta, los cuales se interceptan en tres puntos que son llamados vertices.

El triangulo de la imagen tiene vertices en el punto A, el punto B y el Punto C. Esta delimitado por el segmento AB, el Segmento CB y el  Segmento CA.

Podemos intuir que lo que define en primera instancia al triangulo son precisamente los tres puntos A, B y C, de hecho esto es un Teorema que será demostrado más adelante, una vez que contemos con los elementos matemáticos para hacerlo. Debido a esta observación para hablar del triangulo en cuestión lo haremos refiriéndonos a el como el Triangulo ABC, aunque también podríamos hablar de el como el Triangulo BCA o como el Triangulo CAB, en cualquiera de los tres casos estaríamos hablando del mismo triangulo.

El Teorema que estudiamos no habla directamente del Triangulo ABC, mas bien habla de los ángulos exteriores al Triangulo ABC.

En la figura de arriba tomamos el triangulo que analizamos y utilizando el segundo postulado de Euclides prolongamos el segmento AC hacia el punto D. Observamos que al hacer esto quedan claramente marcados dos ángulos con vértice en el punto C. Se observa el angulo nombrado como beta el cual es un angulo interior del Triangulo ABC, para referirnos a este angulo lo nombraremos <ACB ó <BCA, esto significa que nos referimos al angulo que inicia su trazo en el punto A, tiene un vértice en el punto B y concluye su trazo en el punto C. observamos que en este triangulo tenemos otros dos angulos internos, a saber el <ABC y el <CAB.

se observa un  segundo ángulo al cual nombramos alfa en la figura, este es un angulo externo y para referirnos a el decimos que es el <DCB ó <BCD.

pregunta:

¿cuantos ángulos externos podemos dibujar en cualquier triangulo?

entregar mañana en clase un dibujo en hoja tamaño carta con los otros trazos posibles para un angulo externo de un Triangulo ABC.

Decimos que el <ACB es adyacente al < BCD, los otros dos ángulos internos del Triangulo ABC  son ángulos no adyacentes al <BCD.

Entonces para probar el teorema enunciado al principio de esta entrada es necesario demostrar que <BCD es mayor que el <BAC y que es mayor que <ABC.

Primer paso. probar que <DCB es mayor que <ABC.

a) consideremos el triangulo que hemos estado construyendo. encontremos el punto medio del segmento BC

a este punto que encontramos lo llamaremos E, solo consideraremos por el momento el <BCD, que ahora también lo podemos llamar <ECD y se encuentra marcado en la figura como alfa, aunque en el siguiente paso eliminaremos estas notación.

b) unamos con un segmento de recta el punto E y el punto A

el segmento AE que hemos trazado se le conoce como Mediana del triangulo sobre la base CB

c) Trazamos una circunferencia con centro en E y radio EA.

d) prolongamos el segmento AE por E para formar una semirrecta y encontrar el punto F que es la intersección de la semirrecta con la circunferencia por el lado de E.

observemos que la medida del segmento EF debe de ser igual a la medida del segmento AE, por ser ambos radio de la misma circunferencia.

e) Unamos el punto C con el Punto F.

Razonamiento.

I) El <BEA mide lo mismo que el <FEC, por estar opuesto por el vértice.
II) El segmento BE mide lo mismo que el segmento EC por ser E el punto medio del segmento BC.
III) El segmento AE mide lo mismo que el segmento EF por ser ambos radios de una circunferencia.

IV) Por lo anterior podemos concluir por el postulado LAL que los triángulos ABE y FCE son congruentes.
V) Dado que los triángulos son congruentes el angulo ABC y el angulo FCE miden lo mismo.
VI) El <FCE es parte del  <DCB.
VII)  Dado que el todo debe ser mayor que la parte, entonces concluimos que el <DCB que es externo al Triangulo ABC en el vértice C es mayor que el  <ABC, que es uno de los ángulos no adyacentes al <DCB.



tarea para entregar: probar que el <BAC es menor que el <DCB