Axiomas y Postulados de Euclides

Defiende tu derecho a pensar, porque incluso pensar de manera errónea es mejor que no pensar. 

Hipatia de Éfeso, 370-415 dJC 

Pensadora vinculada a la Biblioteca de Alejandría

Euclides de Alejandría (-325aC- -265aC) fue uno de los jóvenes discípulos de Platón. No se conservan demasiados datos sobre su vida. Por ejemplo no nos consta su lugar de nacimiento. A menudo se confunde con Euclides de Megara, discípulo de Sócrates. Fue coetáneo del instaurador de la dinastía tolemaica Tolome Sóter, después, por tanto, de la muerte de Alejandro Magno. Creó escuela y enseñó en Alejandría.

Se cree también que Euclides no hacía énfasis en los aspectos prácticos de la materia. Se cuenta que en una ocasión uno de sus alumnos le preguntó qué utilidad tenía estudiar geometría. Euclides ordenó a uno de sus esclavos que le diese unas monedas, ya que debe ganar algo necesariamente de lo que aprende. 

Su gran obra es una colección de libros llamados "Los Elementos", dividido en 13 volúmenes, en los cuales se recopilan las matemáticas de entonces. La estructura de estos libros consiste en un pórtico axiomático donde se encuentran las definiciones, postulados y nociones comunes. 

Son las reglas del juego a partir de las que se deducen las proposiciones. Es la primera vez en la historia que se abordan las matemáticas desde esta perspectiva. 

En mi opinión, desde la perspectiva del curso de Trigonometría de la escuela preparatoria de La Universidad Autónoma del Estado de México lo mas valioso que aporta la obra de Euclides es la sistematización de la construcción del conocimiento matemático, bajo un método que posteriormente fue trasladado a otros campos del saber.

La obra "Los Elementos", de la cual se ha tomado la ilustración que se muestra en la parte superior, precisamente en la proposición que demuestra el teorema de Pitagoras, esta dividida en 13 Libros.

Iniciaremos la exposición de este curso partiendo del estudio del Libro I de "los Elementos de Euclides". En este primer libro se plantean cinco postulados, 9 axiomas, 23 definiciones y 48 proposiciones que dejan las bases de la construcción de la Geometria Griega.

No perdamos de vista que los Griegos no conocían el Álgebra y su sistema de numeración no se prestaba para el uso de la Aritmética, por lo que la geometría se convirtió en algo mucho mas importante que una técnica de dibujo. 

Los 9 Axiomas de Euclides

Antes de enunciar los Axiomas que sirven de base para el pensamiento matemático, definamos lo que es un Axioma

Un axioma es una proposición que se considera «evidente» y se acepta sin requerir demostración previa. En un sistema hipotético-deductivo es toda proposición no deducida (de otras), sino que constituye una regla general de pensamiento lógico 

Partiendo de lo anterior, Euclides acepto la existencia de los siguientes Axiomas:

1. Cosas iguales a una misma cosa son iguales entre si.
2. Si a cosas iguales se agregan cosas iguales, los totales son iguales.
3. Si de cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos son iguales.
4. Si a cosas desiguales se agregan cosas iguales, los totales son desiguales.
5. Las cosas dobles de una misma cosa son iguales entre si.
6. Las cosas mitades de una misma cosa son iguales entre si.
7. Las cosas que son congruentes entre si, son iguales entre si.
8. El todo es mayor que la parte.
9. Dos rectas no comparten espacio.

Es claro que las 9 propuestas anteriores son tan evidentes que no se requiere ninguna demostración al respecto.

Los 5 postulados de Euclides.

Un postulado es una proposición no evidente por sí misma, ni demostrada, pero que se acepta ya que no existe otro principio del que pueda ser deducida

Primer postulado de Euclides.

"Una recta puede trazarse desde un punto cualquiera hasta otro punto cualquiera":

Segundo postulado de Euclides:

"Un segmento de recta puede prolongarse por cualquiera de sus extremos, convirtiéndose en una recta".

Tercer postulado de Euclides:

"Una Circunferencia puede describirse con un centro y una distancia".

Cuarto Postulado de Euclides:

"Todos los Ángulos rectos son iguales entre si"

Quinto Postulado de Euclides:

"Si una recta corta a otras dos, forma con estas dos ángulos interiores cuya suma es menor que la suma de dos ángulos rectos, si las dos rectas cortadas se prolongan indefinidamente, se interseptaran del lado que la suma de los ángulos interiores en menor que dos ángulos rectos"