Dado un segmento de recta, encontrar su punto medio

División de un segmento de recta en dos partes iguales.

Un primer problema que enfrentaron los Griegos, fue como dividir un segmento de recta exactamente en dos partes iguales, Griegos y romanos no tuvieron una adecuada manera de representar los números, lo que les impidió hacer mayores progresos en el cálculo matemático, sin embargo con ayuda de los razonamientos geométricos pudieron realizar operaciones tales como la división de un segmento.

El planteamiento del problema es el siguiente:

Dado un segmento cualquiera, encontrar el punto que lo divide exactamente en dos partes iguales:

primer paso: trazar dos circunferencias, una con centro en A y otra con centro en B con el mismo radio que claramente sea mayor que la mitad del segmento.

notemos que las dos circunferencias se interceptan en dos puntos, llamemosles D y E

segundo paso: Únanse los puntos E y D con un segmento de recta. 

el Punto de intersección  del Segmento AB con el segmento DE al que llamamos F es el punto medio del segmento AB y del Segmento ED.

El procedimiento indicado es muy simple, pero si aplicamos el rigor matemático a la prueba antes realizada, nos queda la duda de si esto siempre se cumple, es necesario demostrar que con este procedimiento siempre se obtendrá el punto medio de un Segmento.

prueba

 A la última figura la añadiremos 4 segmentos más: AD, BD, AE y BE

I) Observamos que se han formado 4 Triángulos: ADF, AEF, BDF y BEF.

II) Los segmentos AD, BD, AE y BE miden lo mismo por ser radios de circunferencias de igual radio.

III) Sabemos que el <AFD y el <DFB suman dos angulos rectos, es decir son suplementarios.

IV) De igual forma el <AFE y el <EFB también son suplementarios.

V) De la misma forma el <AFB y el <BFD también son suplementarios.

VI) De igual forma son suplementarios <AFD y >AFE.

VII) Sabemos además que dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes, esto quiere decir que miden lo mismo. por tanto los <AFD y <BFE son congruentes de la misma manera que <AFE y <BFD.

IX) si observamos los Triángulos BFD y AFD, nos damos cuenta que ambos tienen en común el segmento FD.

X) la única forma en la cual AD y DB sean iguales en los triángulos FDB y FDA es que <AFD y <BFD sean congruentes.

XI) la única forma de que <AFD y <BFD sean congruentes dado que suman dos ángulos rectos es que cada uno de ellos sea un ángulo recto.

XII) por lo tanto <AFD , <BFD,<AFE y <EFB son congruentes e iguales a un ángulo recto.

XIII) el triangulo que tiene un angulo recto como angulo interior se le conoce como Triángulo rectángulo, por tanto los triángulos ADF, AEF, BDF y BEF son rectángulos.

XIV) Si en dos triángulo rectángulo conocemos la hipotenusa y un cateto y estos son iguales, entonces el cateto restante debe de ser igual. (esto se demostrara posteriormente) por tanto los segmentos FB y FA deben de ser iguales y como ambos suman el segmento AB, entonces f debe de ser el punto medio de ese segmento.