Dos circunferencias de radio 10 metros tienen sus centros a 16 metros de distancia de tal forma que las dos circunferencias se interceptan. ¿cual es el área de su intersección?
Modelo del problema
para resolver este problema ubiquemos dos triángulos isósceles o cuatro rectángulos.
se observan 2 triángulos isósceles: el Triangulo ACR y el Triangulo ABR, estos dos triangulos son congruentes dado que ambos comparten el segmento AR y y los segmentos AC, CR, AB y BR son congruentes entre si por ser los 4 radios de las circunferencias y en las dos circunferencias el radio es de 10 m. ademas de ser congruentes los dos triángulos son isósceles.
cada triangulo isósceles se puede descomponer en dos triángulos rectángulos. que serian congruentes entre si, el ACG, elABG, el RBG y el RCG.
Uno de los triángulos rectángulos es como el que se muestra abajo
aplicando el teorema de Pitágoras podemos determinar la medida del segmento GA
Observa ahora que este triangulo es un Triangulo semejante al Triangulo sagrado de Isis, o Triangulo Egipcio o triangulo 3-4-5, si lo hubiéremos notado anteriormente no hubiera sido necesario realizar el calculo de Pitágoras para determinar el lado faltante.
Dado que el punto G es el punto medio del segmento AR, podemos asegurar que la medida de AR es 12 m.
podemos calcular ahora la medida del angulo ABG.
y dado que el angulo GAB es complementario con el ABG, entonces el angulo GAB mide 53.13 grados.
Como el triangulo ABG se obtuvo de dividir el triangulo ABR en un eje de simetría podemos establecer que la medida del angulo ABR es el doble de la medida del angulo ABG, por tanto el Angulo ABR mide 73.74 grados, la cual también es la medida del angulo ACR dado que los triángulos isósceles ACR y ABR son congruentes.
Para calcula el área del Triangulo ABR, nos guiaremos ahora por la siguiente figura:
el triangulo de la figura que es uno de los dos triángulos isósceles que se forman en las dos circunferencias tiene por altura el segmento AG si consideramos que la base es AR por tanto el área de este triangulo es
tenemos que el triangulo al cual le calculamos su area esta dentro de el sector circular que mostramos abajo.
para calcular el área del sector requerimos transformar la medida del angulo a radianes
el área del sector esta dada entonces por
:
Tenemos entonces lo siguiente:
y el triangulo isósceles que se forma por los radios queda así:
por diferencia podemos calcular que el área del sector circular que no forma parte del triangulo mide 16.35 m2.
dado que las dos circunferencias son congruentes y a que existe simetría en el trazo, podemos concluir que el área de intersección de las dos circunferencias es el doble de 16.35 m2. como lo mostramos en la figura siguiente:
